狄利克雷函数可积吗|

狄利克雷函数可积吗

狄利克雷函数(类似的)不可积。狄利克雷不可积是因为“分割，求和，取极限”三步中，先分割，若对每个小区间的取值为1，则求和取极限后积出来是1(仅限于定义域在[0，1]上)；若对每个小区间取值为零，则求和取极限后积出来是0。这样，一个函数有两个极限，而这是不可能的。

狄利克雷函数（英语：dirichletfunction）是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。

黎曼函数可积吗

黎曼函数可积。黎曼函数是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现提出，黎曼函数定义在[0，1]上，其基本定义是：R(x)=1/q，当x=p/q(p，q都属于正整数，p/q为既约真分数)；R(x)=0，当x=0，1和(0，1)内的无理数。

函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

有界函数一定可积吗

有界函数不一定可积。设f（x）在区间（a，b）上有界，且只有有限个间断点，则f（x）在（a，b）上可积。所以有界不一定可积。例如狄利克雷函数f（x）=1（x是有理数的时候），而f（x）=0（x是无理数的时候），所以f（x）是有界的。但f（x）在任意区间内有无数个间断点，所以这个函数在任意区间内不可积。

如果一个函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是可积的。一般来说，被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。对于只有一个变量x的实值函数f，f在闭区间[a，b]上的积分记作。

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