什么是函数初中
函数的含义:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把x称为自变量,把y称为因变量,y是x的函数。初中学的函数有正比例函数,一次函数,二次函数,反比例函数。用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。
初中数学二次函数知识点梳理! 初中二次函数
初中二次函数 初中数学二次函数知识点梳理!
定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax+bx+c a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a0时,开口方向向上,a0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大,则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
二次函数的三种表达式
一般式:y=ax+bx+c a,b,c为常数,a≠0
顶点式:y=a x-h+k[抛物线的顶点P h,k
交点式:y=a x-x₁ x-x₂[仅限于与x轴有交点A x₁,0和B x₂,0的抛物线]
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2a
k= 4ac-b/4a
x₁,x₂= -b√b-4ac/2a
二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴 即直线x=0。
2.抛物线有一个顶点P,坐标为:P -b/2a, 4ac-b/4a。当-b/2a=0时,P在y轴上;当=b-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时 即ab>0,对称轴在y轴左;当a与b异号时 即ab<0,对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于 0,c。
6.抛物线与x轴交点个数:
=b-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
=b-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
=b-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数 x=-b√b-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a
二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数 以下称函数y=ax+bx+c。
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程 以下称方程,即ax+bx+c=0。
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax,y=a x-h,y=a x-h+k,y=ax+bx+c 各式中,a≠0的图象形状相同,只是位置不同。
它们的顶点坐标及对称轴如下表:
当h0时,y=a x-h的图象可由抛物线y=ax向右平行移动h个单位得到。
当h0时,则向左平行移动|h|个单位得到。
当h0,k0时,将抛物线y=ax向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a x-h+k的图象。
当h0,k0时,将抛物线y=ax向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a x-h+k的图象。
当h0,k0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a x-h+k的图象。
当h0,k0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a x-h+k的图象。
因此,研究抛物线y=ax+bx+c a≠0的图象,通过配方,将一般式化为y=a x-h+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
2.抛物线y=ax+bx+c a≠0的图象:当a0时,开口向上,当a0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是 -b/2a,[4ac-b]/4a.
3.抛物线y=ax+bx+c a≠0,若a0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时,y随x的增大而增大.若a0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时,y随x的增大而减小.
4.抛物线y=ax+bx+c的图象与坐标轴的交点:
1图象与y轴一定相交,交点坐标为 0,c;
2当△=b^2-4ac0,图象与x轴交于两点A x₁,0和B x₂,0,其中的x1,x2是一元二次方程ax+bx+c=0 a≠0的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁|。
当△=0.图象与x轴只有一个交点;当△0.图象与x轴没有交点.当a0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y0;当a0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y0.
5.抛物线y=ax+bx+c的最值:如果a0 a0,则当x=-b/2a时,y最小 大值= 4ac-b/4a.
顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.
6.用待定系数法求二次函数的解析式
1当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:y=ax+bx+c a≠0.
2当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a x-h+k a≠0.
3当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a x-x₁ x-x₂ a≠0.
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现
初中的函数是怎样定义的
初中的函数定义:在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给x一个值,y就有唯一确定值与它对应,那么x是自变量,y叫做x的函数。其中x叫自变量,y叫因变量。在一个变化过程中,发生变化的量叫变量,有些数值是不随变量而改变的,称它们为常量。
自变量,函数一个与它量有关联的变量,这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
因变量,随着自变量的变化而变化,且自变量取唯一值时,因变量有且只有唯一值与其相对应。
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