关于中小学数学知识 数学史与数学教育
1，中小学数学人教版教材知识简单罗列部分
1.1，人教版小学数学（按年级）
1）一年级上
——几何学：位置（上）
——算术：自然数的认识：1-20；自然数的加法，不退位减法
——数论：同余类（钟表的认识；并没有明确引入同余类）
2）一年级下
——几何学：图形
——算术：退位减法：1-20；自然数的加减法：1-100
——数学基础或应用数学：分类；不完全归纳
3）二年级上
——数学基础：数学与单位（上）；对象或物体（上）；时间轴（上）；对应（上）
——算术：自然数的加减法：1-100；自然数的乘法，1-9为因数
——几何学：角度
4）二年级下
——数学基础或应用数学：探试法（数据收集）；数学与单位（下）；演绎推理
——算术：自然数的除法：1-81；自然数的多种运算：1-81；自然数的认识：1-10000
——数论：带余除法（余数）
5）三年级上
——数学基础或应用数学：时间轴（中）；集合
——几何学：测量；矩形（上）
——算术：自然数的加减法：1-10000；倍数关系；自然数的乘法，一位数与多位数；分数的引入
6）三年级下
——几何学：方向；面积
——算术：自然数的除法：除数为一位数；自然数的乘法：两位数相乘；小数的引入
——数学基础或应用数学：复式统计；时间轴（下）；对应（下）
7）四年级上
——算术：大自然数的引入，100000000；自然数的乘法，两位数乘三位数；自然数的除法：除数为两位数
——数学基础或应用数学：面积的二次单位；条形统计；优化
——几何学：平行四边形；梯形
8）四年级下
——算术：自然数的四则运算；循环与不循环小数；小数的加减法；求算术平均数
——数学基础或应用数学：对象或物体（中）
——代数学：运算法则（定律）
——几何学：三角形；图形的变换（运动）（上）
——数论：一次同余（提及“物不知数”问题，但似乎并未给出详细的中国剩余定理）
9）五年级上
——算术：小数的乘除法
——数学基础或应用数学：可能性；概率
——代数学：一元一次方程
——几何学：位置（下）；多边形面积；直线或曲线上的点数（植树问题）
10）五年级下
——数学基础或应用数学：对象或物体（下）；折线统计
——算术：因数与倍数的关系；约分与通分；分数的加减法
——几何学：矩形（下）；图形的变换（运动）（下）
11）六年级上
——算术：分数的乘除法；求比例与百分数（上）
——几何学：位置与方向的关系；圆
——数学基础或应用数学：扇形统计；数形关系
12）六年级下
——算术：负数；求比例与百分数（下）
——几何学：圆柱、圆锥；圆上的变换（运动）；几何关系
——代数：代数与数的关系
——组合学：鸽巢原理（抽屉原理）
——数学基础或应用数学：统计与概率的关系
1.2，小学总结
——算术：自然数的认识（一上-四上）、自然数加减法（一上-三上）、自然数乘法（二上到四上）、自然数除法（二下到四上）；
因倍数关系（三上-五下）；分数的引入（三上）；约分与分数加减法（五下）；小数的引入（三下）；循环小数与小数加减法（四下）；小数乘除法（五上）；
比例（六上）；负数的引入（六下）；求算术平均数（四下）
——几何学：位置（一上）、图形（一下）、角度（二上）、测量（三上）、矩形（三上）、方向（三下）、面积（三下）；
平行四边形（四上）；梯形（四上）；三角形（四下）；图形的运动变换（四下-五下）；多边形面积（五上）；图形上的点数（五上）；
圆（六上）；圆柱（六下）；圆锥（六下）；圆上的运动变换（六下）
——数论：同余类，钟表（一上）；带余除法（二下）；一次同余（四下）
——代数学：运算法则（四下）；一元一次方程（四下）
——组合学：抽屉原理（六下）
——数学基础：分类（一下）；不完全归纳（一下）；对应（二上-三下）；演绎推理（二下）；集合（三上）；可能性（五上）
——数学与其他：物理单位（二上-四上）；物体（二上-五下）；统计（二下-六下）；概率（五上）
1.3，初中分年级总结（人教版数学教材知识点）
1）七年级上
——算术：正负数；有理数的引入；有理数加减；有理数乘除；乘方；幻方与方阵；小数与分数的关系
——代数学：整式；整式的加减；一元一次方程（合并同类项、移项、去括号、去分母）
——几何学：图形；直线、射线、线段；测量
2）七年级下
——几何学：相交线；平行线；平移变换；平面直角坐标系
——算术：实数；开方；平方根；立方根；无理数
——代数学：二元一次方程（消元）；三元一次方程；线性方程组的方阵表示；一元一次不等式（组）
——数学与其他：统计与直方图
3）八年级上
——几何学：三角形；与三角形有关的线段；与三角形有关的角；多边形内角和；全等三角形的判定；角平分线；图形的轴对称；等腰三角形
——数学基础：数学证明
——代数学：整式乘法；整式的因式分解；贾宪三角；分式运算；分式方程
4）八年级下
——代数学：二次根式；二次根式的乘除；二次根式的加减
——几何学：勾股定理；勾股定理的逆定理；费马的大猜想；平行四边形与矩形
——分析学：一次函数
——数学与其他：数据的集中与波动
5）九年级上
——代数学：一元二次方程
——分析学：二次函数
——几何学：抛物线（二次函数的图像）；图形的旋转变换；图形的中心对称；圆；圆与点的位置关系；圆与直线的位置关系；圆与圆的位置关系；正多边形与圆；弧长；扇形面积
——数学与其他：概率；随机事件；频率
6）九年级下
——分析学：反比例函数；锐角三角函数
——几何学：双曲线（反比例函数的图像）；图形的相似；相似三角形；分形介绍；位似；锐角三角函数；解直角三角形；投影；视图
——数学与其他：测望
1.4，初中数学总结
——算术：正负数；有理数；幻方；开方；平方根；立方根；无理数；实数
——代数学：整式加减；整式乘法；整式的因式分解；一元一次方程（合并同类项、移项、去括号、去分母）；分式；分式方程；二次根式；二次根式的乘除；二次根式的加减；一元二次方程；贾宪三角
——几何学：图形与测量；直线、射线、线段；相交与平行；平移；平面直角坐标系；三角形、全等三角形、相似三角形、等腰三角形；角平分线；位似；多边形内角和、平行四边形、矩形；轴对称、中心对称；勾股定理；旋转变换；圆；圆与点、直线、圆的位置关系；圆与正多边形；弧长；扇形面积；锐角三角函数；解直角三角形；投影；视图；抛物线、双曲线；费马大猜想的介绍、分形介绍
——分析学：一次函数；二次函数；反比例函数
——数学基础：数学证明
——数学与其他：统计、数据的集中与波动；概率、随机事件、频率；测望
1.5，小学与初中数学总结
——算术：自然数的四则运算；因倍数；小数四则运算；分数四则运算；正负数；有理数四则运算；算术平均数；比例；平方根与立方根；实数、无理数
——几何学：位置与位置关系；直线、射线、线段；线的相交与平行；图形；角与角平分线；测量；方向；矩形、平行四边形、梯形、三角形、多边形、圆、扇形；弧长、面积、内角和；全等三角形、相似三角形、等腰三角形；图形上的点数；轴对称、中心对称；图形的变换、圆上的变换、平移变换、旋转变换、位似变换；平面直角坐标系、投影、视图；圆柱、圆锥；勾股定理；锐角三角函数；解直角三角形；抛物线、双曲线；费马大猜想的介绍、分形介绍
——代数学：运算法则、一元一次方程、整式、因式分解、分式方程、二次根式、一元二次方程；贾宪三角
——数论：同余类、带余除法、一次同余
——数学基础：归纳与演绎；证明；集合；对应；分类；可能性
——数学与其他：物理单位；物体；统计；概率
1.6，具体到高中这边，至少仅就人教版教材覆盖的地区来说，考虑到高中学生减负的问题，似乎大多数学校对于一些人教版高中数学教材的选讲部分是不会讲（比如数学史部分、球面三角学部分、群论部分等等），至少笔者2010年到2013年在黑龙江家乡读高中时是这样的，不过当时教材都有发。
1.6.1，高中数学（必讲）
——数学基础（含数理逻辑基础）：集合；集合间关系；集合的运算；充要条件；全称量词；存在量词；数学归纳法；算法
——分析学：二次函数、二次方程、函数、函数的单调性、函数的奇偶性；幂函数、指数函数、对数函数、三角函数；正弦函数、余弦函数、正弦型函数、正切函数、周期函数；一元函数的导数；定积分；微积分基本定理
——代数学：不等式、不等式的解集；一元二次不等式；一元二次方程的解集、根与系数的关系；均值不等式；复数四则运算、复数三角表示；平面向量；空间向量；向量的坐标表示；向量数量积；数列、等差数列、等比数列；指数运算、对数运算；二项式定理、贾宪三角、绝对值不等式、几何平均值、基本不等式、柯西不等式
——几何学：角；弧度制；三角函数；两角和差的余弦、正弦与正切；倍角公式；诱导公式；三角恒等变换；平面向量；平面向量的坐标表示；向量数量积；空间向量；立体图形；空间点；直线与平面的位置关系；空间中直线与平面的平行或垂直；表面积；体积；单位圆；三角函数线；正弦定理、余弦定理；祖暅原理；多面体；棱柱、棱锥、棱台；旋转体；空间中的平行与垂直关系；异面直线；二面角；直线的倾斜角、斜率；直线方程；直线交点坐标、距离公式；圆方程；圆锥曲线方程；极坐标系；曲线的极坐标方程；柱坐标系；球坐标系；曲线的参数方程；圆锥曲线的参数方程；直线参数方程（渐开线；摆线）
——组合学：排列与组合；基本计数原理
——数学与其他：统计、抽样；概率、频率、相互独立的随机事件；条件概率、随机变量；回归分析；流程图；程序、赋值、输入与输出语句、循环语句、条件语句；古典概型、几何概型
1.6.2，高中数学（选讲）
——数学史（3-1）：古埃及数学；巴比伦数学；记数制度；毕达哥拉斯学派；欧几里得《原本》；阿基米德；赵爽弦图与《周髀算经》；《九章算术》；大衍求一术；笛卡尔坐标系、费马解析几何；微积分的诞生；欧拉与高斯；三四次方程求根公式；高次方程可解性问题；伽罗瓦与群论；古希腊几何难题；无穷观念；无穷集合论的创立；公理化集合论；中国现代数学；华罗庚与陈省身
——几何学（3-4-1）：球幂定理、球面上的距离与角、球面二角形、球面三角形、球极、三面角、对顶三角形、球面三角形的周长与内角和、球面三角形全等判定、多面体欧拉公式、球面多边形的欧拉公式、球面上的正弦定理与余弦定理、非欧几里得几何、平行线等分线段定理/成比例定理、直角三角形的射影定理、圆周角定理、弦切角的性质、平行射影、平面与圆柱面圆锥面的截线
——代数学（4-2；3-4）：线性变换（旋转、反射、伸缩、投影、切变）、二阶矩阵及其乘法、单位正方形区域、复合变换、逆变换与逆矩阵、二阶行列式、一次方程的矩阵形式、三阶矩阵、三阶行列式、特征值、特征向量；平面图形的对称变换与对称群、n元对称群、多项式的对称变换、抽象群、直积、伽罗瓦理论介绍
——数论（4-6）：整除、带余除法、素数、最大公因数、最小公倍数、算术基本定理、同余、剩余类、剩余类的运算、费马小定理、欧拉数论定理、一次同余方程、孙子定理、秦九韶同余算法、拉格朗日插值法、一次不定方程、大数分解
——数学与其他（4-6；3-4；4-7；4-9）：信息的加密与去密、公开密钥、化学分子的对称群、晶体分类、带饰与面饰中的群；优选法；正交试验；决策论；风险评估；马尔科夫链；转移概率矩阵；平稳分布与平稳准则
2，数学史（极不完整的一点儿个人根据所读史书所总结的数学史内容；参考文献主要包括胡作玄的《近代数学史》、胡作玄与邓明立的《20世纪数学思想》、莫里斯.克莱因的《古今数学思想》中译本【邓东皋等译】、斯科特的《数学史》【侯德润等译】、冯克勤的《代数数论简史》、胡俊美的《有限单群分类的历史研究》等书籍）
2.1，古代数学
——前18世纪，巴比伦人找到素勾股数解法
——前11世纪，商高独立得到一组素勾股数
——前6世纪，毕达哥拉斯严格引入素数概念
——前6世纪，毕达哥拉斯证明勾股定理
——前5世纪：巴门尼德“部分等于整体”公设
——前5世纪，安提丰引入穷竭法与割圆术
——前5世纪：亚里士多德量化主词
——前4世纪：欧几里得“部分小于整体”公设
——前3世纪：阿基米德引入等速螺线
——前3世纪，阿波罗尼奥斯证明圆锥面上几何类似平面几何
——前3世纪，阿波罗尼奥斯提出其圆问题
——2世纪，丢番图提出四平方和猜想
——3世纪，刘徽给出立体几何的刘徽原理
——5世纪，孙子给出一次同余组的解
——1050，贾宪发现平方本原三角（二项式定理展开系数表）
——1247，秦九韶给出一次同余组的严格求法与中国剩余定理的证明
——1545，卡当引入复数
2.2，近代数学
——1611，开普勒提出其球堆积的密度数值为π/√18的猜想（几何数论）
——1620，笛卡尔得到平面角与立体角间的代数恒等式（拓扑）
——1629，费马给出圆与圆锥曲线的轨迹方程（代几）
——1629，吉拉尔提出代数基本定理（代数）
——1636，费马提出其小猜想（数论）
——1637，笛卡尔引入等角螺线（几何）
——1637，笛卡尔提出其说明方程的根与系数关系的符号法则（代数）
——1640，费马与梅森提出梅森素数（数论）
——1654，帕斯卡给出其二项式系数三角并进行演绎说明，正式给出二项式定理（代数）
——1666，牛顿提出其流数法与微积分基本定理（分析）
——1673，牛顿就对称多项式提出其恒等式（代数）
——1673，牛顿分类了实二次代数整数（数论）
——1676，莱布尼兹提出其微积分基本定理（分析）
——1676，牛顿将二项式定理推广到了负指数与分数指数（代数）
——1691，罗尔给出其中值定理（分析）
——1692，莱布尼兹给出了曲线族包络线的偏微分方程（分析）
——1704，牛顿根据方程标准形式给出三次曲线的一种分类（代几）
——1712，泰勒给出不带余项的泰勒展开式（分析）
——1714，科兹最早给出复变量的辐角公式（复）
——1741，笛卡尔符号法则被加德马尔弗证明（代数）
——1741，费马小定理被欧拉证明（数论）
——1742，哥德巴赫、欧拉提出了加性数论的哥德巴赫与强哥德巴赫猜想（数论）
——1748，欧拉在其引论中讨论了函数、无穷级数、无穷乘积与连分式的问题（分析）
——1752，欧拉给出多面体的欧拉公式（拓扑）
——1763，欧拉引入欧拉数论函数（数论）
——1770，拉格朗日等引入置换概念（代数）
——1770，拉格朗日提出其群论定理（代数.群论）
——1770，华林提出加性数论的华林猜想（数论）
——1770，华林等提出威尔逊猜想（数论）
——1770，拉格朗日证明了四平方和定理（数论）
——1773，拉格朗日证明威尔逊定理（数论）
——1796，高斯对三角形数证明了多边形数定理（数论）
——1796，高斯证明二次互反律（数论）
——1796，高斯就n=17给出了n次分圆方程的根式解（代几）
——1796，焦循给出中算的第一个代数系统（代数）
——1796，焦循尝试就鳖臑与勾股的关系作一般推广（代几）
——1797，拉格朗日中值定理在其函数论中被给出（分析）
——1798，勒让德引入二次剩余的勒让德符号（数论）
——1799，高斯严格证明代数基本定理（代数）
——1799，鲁菲尼就五次方程无根式解给出了不完善的证明（代数）
2.3，现代数学
1801，高斯（同余）
1801，高斯（分圆）
1801，高斯（剩余类乘法群）
1801，高斯（有限交换群）
1811，高斯（积分定理）
1813，柯西（多边形数定理）
1813，柯西（多面体公式）
1814，柯西（复积分）
1815，柯西（群论）
1824，阿贝尔（五次及以上方程无根式解）
1825，柯西（积分定理）
1826，阿贝尔（幂级数收敛定理）
1827，高斯（微分几何）
1829，伽罗瓦（域扩张与可解群）
1830，伽罗瓦（有限域）
1831，高斯（最密球堆积）
1832，伽罗瓦（单群）
1837，高斯（复整数环）
1839，普吕克（代数曲线公式）
1842，魏尔斯特拉斯（积分定理）
1843，哈密顿（四元数）
1845，库默尔（理想类数）
1846，柯西（多重可迁置换群）
1846，麦克斯韦（笛卡尔椭圆）
1847，爱森斯坦（模形式）
1848，博内（微分几何）
1850，柯克曼（史坦纳系）
1851，黎曼（黎曼映射）
1853，克罗尼克（阿贝尔扩张与分圆域）
1854，黎曼（流形）
1854，布尔（布尔代数）
1858，黎曼（黎曼猜想）
1861，马丢（马丢群）
1863，莫比乌斯（环柄）
1870，若尔当（一般线性群）
1871，戴德金（理想子环）
1872，西罗（西罗p子群）
1872，克莱因（群对几何的作用）
1872，戴德金（实数连续性）
1873，马丢（五种马丢群）
1874，康托尔（可数无穷与连续统）
1874，李（李群与李代数的构造）
1876，魏尔斯特拉斯（整函数分解）
1876，魏尔斯特拉斯（本性奇点）
1877，克莱因（环柄）
1879，皮卡（皮卡定理）
1881，庞加莱（积分曲线与微分方程定性理论）
1883，康托尔（序型与连续统假设）
1886，韦伯（克罗内克-韦伯定理）
1887，若尔当（若尔当曲线定理）
1889，霍尔德（若尔当-霍尔德定理）
1892，李雅普诺夫（李雅普诺夫稳定性）
1892，霍尔德（霍尔德单群）
1893，莫尔（有限域的定义）
1893，老嘉当（复李代数的分类）
1894，科尔（马丢群的单性）
1895，庞加莱（单形与基本群）
1896，闵可夫斯基（数的几何）
1896，阿达玛（素数定理）
1897，希尔伯特（原始类域论）
1898，老嘉当（李代数与线性结合代数）
1898，亨泽尔（p-adic数域）
1899，希尔伯特（几何基础）
1900，米勒（其他马丢群的单性）
1900，希尔伯特（数学问题）
1900，庞加莱（引入挠系数）
1901，迪克逊（有限单群，有限域）
1902，勒贝格（勒贝格积分）
1903，阿达玛（泛函）
1903，罗素（罗素悖论）
1904，伯恩塞德（伯恩塞德可解群）
1904，策梅罗（选择公理）
1905，庞加莱（严格的庞加莱猜想）
1905，康顿（标架，等距变换群，李群的保原点子群）
1905，维布伦（若尔当曲线定理的证明）
1905，列维（李代数的复分解）
1905，迪克逊（有限单群）
1906，哈托格斯（向内可解析开拓现象）
1906，弗雷歇（弗雷歇抽象空间，距离）
1907，迪克逊（发现域特征p整除群阶|G|时的表示论之不同）
1907，韦德伯恩（线性结合代数结构定理）
1907，施密特（施密特正交化与复希尔伯特空间）
1907，西格尔（与德恩；引入奇异同调）
1907，菲利普.富特文格勒（原始类域论的证明）
1908，施泰尼兹（拓扑空间，积空间）
1909，布劳威尔（不动点定理）
1910，罗素（与怀特海，数学原理）
1910，里斯（线性空间对偶定理）
1910，施泰尼兹（域特征与域分类）
1910，老嘉当（n维黎曼流形上的活动标架，每点切空间的正交标准基与李群）
1913，外尔（黎曼面与2维复流形内在定义）
1914，豪斯道夫（豪斯道夫空间，集论）
1914，布劳威尔（构造性连续统）
1914，老嘉当（实数域上有限维李代数分类）
1916，比勃巴赫（单叶函数猜想）
1917，列维-奇维塔（平行移动）
1918，外尔（引入仿射联络）
1918，哈代（与拉马努金；引入圆法）
1918，奥斯特洛夫斯基（赋值论定理）
1919，儒利雅（超越整函数中皮卡定理的儒利雅方向）
1919，亚历山大（棱镜空间，同调而不同胚，低维拓扑的复杂性）
1920，赫克（赫克算子与赫克模形式）
1920，高木贞治（L函数与类域论；任意相对阿贝尔扩张K/k都是k某个理想类群的类域）
1920，巴拿赫（证明共鸣定理）
1920，布龙（筛法，哥猜，9+9）
1921，诺特（抽象环论）
1921，阿廷（将Zeta函数推广到代数簇）
1922，莫德尔（数论的莫德尔猜想）
1922，希尔伯特（证明论）
1922，亚历山德洛夫（与乌雷松；双紧）
1922，亚历山大（对偶定理）
1922，老嘉当（积分不变量，整体观点的外微分；斯托克斯公式）
1923，冯诺依曼（NGB公理系统）
1923，赫克（代数数理论讲义）
1924，亚历山大（单点紧化）
1924，布劳威尔（直觉主义的扇形定理）
1925，奈望林纳（值分布定理）
1925，外尔（引入外尔群；研究整体李群）
1925，哈罗德.哈特灵（三维状态空间与切向量空间；纤维思想）
1925，霍普夫（霍普夫指标定理）
1925，阿廷（辫子群）
1926，亚历山大（对具有Zn系数的单纯上同调给出精确上同调）
1926，老嘉当（外微分与齐次空间）
1926，诺特（五公理环）
1926，阿廷（与施赖尔；实域）
1927，阿廷（阿廷映射与类域论，一般互反律）
1927，阿廷（极小条件环）
1927，施赖尔（引入拓扑群公理）
1927，费陶里斯（对紧度量空间定义了费陶里斯同调群）
1927，莱夫谢茨（莱夫谢茨对偶）
1928，莱夫谢茨（引入有理系数同调）
1928，亚历山大（扭结论的亚历山大多项式）
1928，老嘉当（黎曼空间几何与流形上的斯托克斯公式）
1929，冯诺依曼（希尔伯特空间的公理定义）
1929，吉洪诺夫（引入豪斯道夫紧化）
1929，诺特（群环KG在K模上的表示）
1929，韦伊（莫德尔猜想的部分证明）
1929，哥德尔（谓词逻辑完全性）
1930，哈塞（二次型的局部-整体原理）
1930，施密特（将类域论推广到有限域与单变代数函数域；整体域）
1930，吉洪诺夫（紧空间的积定理）
1930，莱夫谢茨（引入伪闭链）
1930，小嘉当（解析映射唯一性定理）
1931，范德瓦尔登（代数学）
1931，哥德尔（含算术形式系统的不完全性）
1931，薛华荔（类域论的算术形式）
1931，庞特里亚金（引入庞特里亚金同调群）
1932，切赫（引入切赫同调群）
1932，切赫（将基本群推广为高阶同伦群）
1932，波尔苏克（引入绝对邻域收缩核）
1932，巴拿赫（线性算子与泛函分析）
1932，塞弗瑞（无底空间结构的特殊纤维空间）
1932，小嘉当（嘉当与多复变）
1932，小嘉当（紧复解析簇的自同构群是李群）
1933，哈塞（就亏格1证明曲线上黎曼猜想）
1933，哈尔（引入局部紧拓扑群上的哈尔测度）
1933，冯诺依曼（局部欧氏紧群是李群）
1933，范德瓦尔登（复李代数分类等价于既约根系分类）
1933，莱夫谢茨（奇异定向单形与定向奇异链群）
1933，霍普夫（霍普夫分类定理）
1934，纳森.雅各布森（李代数的推广）
1934，庞特里亚金（引入任意系数同调）
1934，庞特里亚金（局部拓扑群的结构定理）
1934，埃瑞斯曼（明确老嘉当的李群与主丛/活动标架空间思想）
1935，惠特尼（惠特尼示性类）
1935，惠特尼（引入球空间/球丛）
1935，惠特尼（与亚历山大独立地；引入上同调）
1935，扎里斯基（代数簇与扎里斯基拓扑）
1935，布饶尔（模表示理论）
1935，阿尔福斯（推广奈望林纳到黎曼面）
1936，赫克（有函数方程的狄利克雷级数与模函数的一一对应）
1936，惠特尼（惠特尼微分嵌入）
1936，查森豪斯（多重可迁群）
1936，约翰.怀特海（实李代数的列维分解）
1936，胡尔维茨（无球状面空间的同伦等价定理）
1937，维特（维特向量）
1937，维特（李代数嵌入万有包络代数）
1937，韦伊（一致性空间）
1937，迪厄多涅（引入仿紧）
1937，维诺格拉诺夫（大奇数的哥德巴赫猜想）
1937，切赫（与斯通，空间的最大豪斯道夫紧化）
1937，惠特尼（球丛分类空间为格拉斯曼流形）
1938，韦伊（引入阿德尔环，其所有乘法可逆元构成域的伊德尔群）
1938，维特（史坦纳系的自同构群与马丢群）
1938，庞特里亚金（连续群，李群与拓扑群）
1939，布尔巴基（数学原本）
1939，约翰.怀特海（引入弱同伦等价与简单同伦型）
1939，范德瓦尔登（代数几何引论）
1940，贝尔（内射模）
1940，华罗庚（堆垒素数）
1940，薛华荔（引入伊德尔）
1940，布尔巴基（一般拓扑学）
1941，约翰.怀特海（引入CW复形）
1941，薛华荔（连通可解李群的微分同胚）
1941，盖尔芳德（与马祖尔，巴拿赫代数）
1941，费尔波（主纤维空间与相伴纤维空间）
1941，角谷静川（不动点定理）
1942，庞特里亚金（庞特里亚金示性类）
1942，布尔巴基（代数学）
1943，斯廷洛德（球丛分类）
1943，韦伊（依赖黎曼流形到欧氏空间嵌入的高斯-博内定理证明）
1944，惠特尼（微分流形的嵌入）
1944，陈省身（高斯-博内定理内蕴证明，欧拉示性数=黎曼曲率张量代数式的积分）
1944，艾伦伯格（准确定义奇异同调）
1945，艾伦伯格（范畴论公理系统）
1945，格罗滕迪克（与沙顿，拓扑张量积与核空间）
1945，马力茨夫（连通李群的拓扑结构定理）
1945，施瓦茨（广义函数论）
1946，韦伊（代数几何基础）
1946，陈省身（陈示性类）
1946，外尔（典型群）
1946，薛华荔（解析群）
1948，吴文俊（推广陈类，由陈类导出庞特里亚金类，将惠特尼乘积公式推广到陈类）
1948，阿尔弗雷德.瑞尼（哥德巴赫猜想的1+C近似，筛法）
1948，迪厄多涅（典型群的自同构）
1948，科尔钦（连通李群的可解群）
1948，韦伊（就代数曲线证明曲线上黎曼猜想）
1948，韦伊（引入阿贝尔簇理论）
1949，韦伊（韦伊猜想）
1949，小平邦彦（位势）
1950，约翰.怀特海（代数同伦论的怀特海纲领）
1950，德拉姆（上同调的德拉姆理论）
1950，吴文俊（惠特尼类的吴公式）
1950，角谷静川（角谷猜想）
1951，斯坦因（将全纯域推广为斯坦因流形）
1951，吴文俊（模3与模4庞特里亚金类的拓扑不变性）
1951，斯廷洛德（纤维丛的拓扑学）
1952，中山正（与霍赫希尔德，类域论中的上同调）
1953，迪厄多涅（典型群的几何学）
1953，塞尔（斯坦因空间的塞尔丛猜想）
1954，托姆（配边理论）
1954，波尔苏克（同伦等价猜想）
1954，韦伊（证明阿贝尔簇的射影嵌入定理）
1954，华罗庚（典型域的多复变）
1954，小嘉当（引入环式空间与正规解析空间）
1955，韦伊（引入阿贝尔簇的沙特莱群与沙法列维奇群）
1955，谷山丰（模椭圆曲线）
1955，冈洁（伪凸域为全纯域的列维定理）
1955，布饶尔（中心化子纲领）
1955，薛华荔（薛华荔单群）
1955，薛华荔（引入有限域的代数群）
1955，薛华荔（连通可解李群的代数分解定理）
1956，布吕阿（李群的布吕阿分解）
1956，小嘉当（投射模）
1956，托姆（引入有理庞特里亚金类）
1956，米尔诺（用上同调语言定义了惠特尼类）
1956，米尔诺（分类空间定理）
1956，米尔诺（得到S^7的28种微分结构）
1956，塞尔（将抽象代数簇视为环式空间）
1957，惠特尼（惠特尼层化）
1957，小平邦彦（复流形）
1958，小嘉当（正规解析空间嵌入在C^n）
1958，阿蒂亚（复向量丛等价类的K群）
1958，格罗滕迪克（K0群，概形的定义）
1959，汤普森（局部类域论）
1959，岩泽健吉（分圆扩张与类数公式）
1959，埃克曼（与希尔顿；单连通情形的波尔苏克定理）
1959，汤普森（有限弗洛贝尼乌斯群结构定理的完整证明）
1959，斯坦因伯格（斯坦因伯格得到4个实型李型单群）
1960，格劳尔特（直接象定理，保紧则保凝聚绯索）
1960，小嘉当（解析空间模一个不连续群仍为解析空间）
1960，斯梅尔（不小于5维的庞加莱猜想得到证明）
1960，米尔诺（定向配边环/分次反交换代数没有p分量）
1960，格罗滕迪克（概形语言）
1960，韦伊（代数群的玉河数猜想；玉河数有限定理）
1960，铃木通夫（铃木通夫群）
1960，德沃克（部分证明韦伊猜想）
1961，蒂茨（引入蒂茨系）
1961，李林学（李林学李型群）
1962，布饶尔（布饶尔-福勒定理）
1963，华罗庚（华罗庚与典型群）
1963，伽绪茨（有限群的形成类）
1963，科恩（力迫方法与外模型）
1963，格罗滕迪克（引入I-adic上同调）
1963，格罗滕迪克（韦伊猜想的研究）
1963，汤普森（费特-汤普森奇数阶单群仅循环群）
1963，米尔诺（球S^n上微分结构成一有限交换群，n≠3且＞7）
1964，陈景润（华林猜想的k=5情况）
1964，广中平佑（特征0域上代数簇的奇点解消）
1964，米尔诺（引入微丛）
1965，塞尔（伽罗瓦上同调）
1965，扬科（扬科单群J1）
1965，罗斯（与明比利得到哥德巴赫1+3近似）
1965，蒂茨（引入抛物子群）
1966，扬科（J1的构造与唯一性）
1966，陈景润（哥德巴赫猜想的陈景润定理）
1966，阿蒂亚（阿蒂亚-辛格指标定理）
1967，韦伊（基础数论，赫克理论）
1967，朗兰兹（朗兰兹猜想）
1967，扬科（扬科群J2与J3）
1967，阿蒂亚（拓扑K理论）
1968，迪厄多涅（现代分析基础）
1968，高林斯坦（信号化函子法）
1968，布尔巴基（李代数）
1969，阿蒂亚（交换代数导引）
1969，康威（康威单群）
1969，德利涅（不可约拟射影代数簇）
1971，费舍尔（费舍尔单群）
1972，奎伦（一般的代数K理论）
1972，高林斯坦（有限单群分类纲领）
1973，费舍尔（费舍尔单群，预言大魔群、小魔群）
1973，德利涅（韦伊猜想的证明与I-adic上同调）
1974，瑟斯顿（叶状结构定理）
1974，哈泽温克尔（形式群构造法的局部类域论）
1974，沙法列维奇（基础代数几何）
1975，蔡汀（蔡汀常数）
1975，吴文俊（函子I*）
1976，哈肯（四色定理）
1976，瑟斯顿（三维流形的几何化分类）
1976，哈特肖恩（代数几何）
1976，扬科（扬科单群J4）
1977，马祖尔（有理数域上椭圆曲线有理点群的挠子群只有有限种可能）
1977，威西特（波尔苏克猜想的证明）
1978，德林费尔德（函数域的朗兰兹对应）
1878，马凯（魔群与椭圆曲线）
1979，康威（魔群月光）
1979，岩泽健吉（域论形式的局部类域论）
1979，方丹（方丹-温滕伯格定理）
1979，奥南（有限本原群基本定理）
1981，弗里德曼（四维拓扑流形完全分类与四维庞加莱定理）
1981，诺顿（散在单群有限定理）
1982，唐纳森（四维流形的唐纳森定理）
1882，格里斯（构造出大魔群）
1983，法尔廷斯（莫德尔猜想的证明）
1984，布兰吉斯（单叶函数比勃巴赫定理）
1984，沙法列维奇（沙法列维奇代数概念）
1984，阿什巴赫尔（证明有限单群对合生成）
1984，琼斯（通过冯诺依曼代数得到琼斯多项式）
1986，格洛莫夫（引入双曲群与自动群）
1987，布劳克（局限素特征李代数）
1987，麦克伊伏（有限群的同阶数目）
1988，考特维茨（单联通的代数群玉河数猜想的证明）
1988，吕凯（扭结论的补集拓扑决定得到证明）
1989，格里斯（大魔群的唯一性）
1989，林磊（特征2域的交错哈密顿李代数）
1992，周海中（梅森素数分布规律）
1995，怀尔斯（半稳定谷山猜想与费马大定理）
1999，泰勒（谷山定理）
2002，拉弗格（有限域上函数域的朗兰兹对应）
2003，佩雷尔曼（庞加莱猜想与几何化分类的证明）
2012，舒尔茨（拟不完满空间）
2.4，数学分支与方向（主要引自各类百科中的“数学”词条，有根据自己所学进行一些简单的补充与调整【比如算子代数在一般的分支分类中都会被归入分析】）
——数学基础：符号逻辑、证明论（元数学）、递归论、模型论、公理集合论、数理逻辑、数学哲学
——数论：初等数论、解析数论、超越数论、丢番图逼近、几何数论、代数数论
——代数学：线性代数、群论、域论、李群、李代数、凯克-莫迪代数、交换环与交换代数、结合环与结合代数、非结合环与非结合代数、模论、格论、泛代数理论、范畴论、同调代数、代数K理论、微分代数；线性算子理论、拓扑线性空间、希尔伯特空间、函数空间、巴拿赫空间、算子代数；组合学
——几何学：代数几何学、几何学基础、欧几里得几何、非欧与黎曼几何、球面几何、向量与张量分析、仿射几何、射影几何、微分几何、分数维几何、点集拓扑、代数拓扑、同伦论、低维拓扑、同调论、维数论、格上拓扑、纤维丛论、几何拓扑、奇点理论、微分拓扑、图论（运筹学/组合学）
——分析学：微分学、积分学、级数论、非标准分析、实变函数、单复变函数、多复变函数、函数逼近论、调和分析、复流形、特殊函数论、常微分方程定性理论、常微分方程稳定性理论、常微分方程解析理论、椭圆型偏微分方程、双曲型偏微分方程、抛物型偏微分方程、非线性偏微分方程、微分动力系统、拓扑动力系统、复动力系统、积分方程；测度与积分、变分法、广义函数论、非线性泛函分析、插值法、逼近论、常微分方程数值解、偏微分方程数值解、积分方程数值解
3，仅就必修与必选部分，对高中与小学知识点进行的简单比较
3.1，首先，算术方面，很明显人教版教材这样的安排是很有其道理的，初等算术的四则运算必须在小学里学，而至少10000以内的自然数、分数/小数的加减乘除这类问题是并不需要在高中再学一遍的（它必然默认已经上了高一的学生会进行10000以内甚至更大有理数的加减乘除）。
另一方面，对于算术领域（就其与数论并非完全一致的角度而言），像皮亚诺或戴德金的算术公理体系、逻辑联接词与命题/公式的哥德尔配数、算术公理相容性（希尔伯特提出，根茨解决）等这类问题，至少在高中，应该也是并不太适合过早提及的（算术公理倒是可以提，如果有的老师会讲群论选讲的那本高中教材的话，也不见得不会顺便在涉及到循环群【特别是无限循环群】或抽象群定义的时候简单提一句）。
就求平均数这个知识点（就涉及具体自然数、有理数、实数乃至一般的特征0域上的数【含各种代数整数、代数数，复数、p-adic有理数、p-adic无理数、p-aidc复数等】的情况来看，求具体平均数的问题应该是与算术相关的，不过它当然也很容易继续进行代数化的归纳）来看，似乎倒也不能说高中知识范围内不再涉及任何算术内容——虽然高中的教学一般是会更以代数色彩的讲法涉及求平均数问题的。比如可能会在讲数列的时候与讲均值不等式的时候提到几何平均数等。
3.2，然后是数论；笔者在读小学的时候，记得应该老师是有专门详细地讲过质数（素数）与合数的区分、短除法求公约数、验证是否互质（互素）、对互质数或非互质数求最大公倍数这样的问题的。不过在我最近查到的小学教材里似乎删掉了这些，不清楚现在的小学老师是否还会讲。
不过作为调整，像同余类的直观引入（指钟表上的加法）、带余除法或余数的引入以及对一次同余式组的初步介绍（指物不知数问题），在我查到的人教版小学数学教材中是存在的。
小学一年级人教版教材中的“对钟表的认识”这一部分，原则上它不仅可以像上面总结时所提的、看成是同余类的例子，还可以视作有限循环群的例子，如果再补充上同余类乘法（举个例子，对于模5同余类，3乘以7=1，因为20是5的倍数，用5整除3乘以7的得数会余1；这也可以看成一个有5个刻度的钟表上的乘法——不过日常生活中钟表不太提供这个用处），则它还将为特征p（p为质数）的域与环的代数和数论内容（根据莫尔定理与施泰尼兹素域的概念，每个特征p的域作为有限域都以上面构造的那样的具备同余类加法与同余类乘法的剩余类域为素域，都可以由这样的剩余类域扩张而来）给出铺垫。
这里还希望推荐一个应该是曾令笔者自己在大学时期最早接触到同余类与有限循环群的B站上的科普（它就是以钟表作为例子进行介绍的）：
钟表与有限循环群（感谢这位up主）
之所以在高中不再涉及这些内容，猜测应该是出于教学重点的考虑（选讲教材里有一本是关于数论的，不过我估计大多数高中数学老师并不会讲它）；从我个人的意见上看，其实是倾向于认为，可以在高中数学里更多地加设一些数论方面的内容的，毕竟至少就我的了解，当前无论在世界范围内还是在国内，数论都是无可争议的大热点之搞数论的数学家很多（虽然就前沿而言，这些数论学者都必需另外掌握很多代数知识、分析知识甚至几何知识才可能尝试解决问题），没有加设的原因，我猜想是出于高中数学教育之目的与培养方向均衡性的考虑的，毕竟虽然高中至少在当前在国内是非义务教育的范围，但是它主要的目的还是向一般的更领域输送人才、专业化的色彩是很弱的，而数论知识普及总的而言对于类似像工科与经管这样的方向而言在数学各基础领域中大概必要性会相对小些。
3.3，其他的领域，至少就大的层面来说，在小学涉及的知识点的延伸到高中应该基本都有提。
具体地，笔者读高中的时候的5本必修一般会按3的顺序进行教学：分别会涉及集合论初步与初等函数初步（必修1）、平面向量与三角学（必修4）、解三角形（正余弦定理）与数列与不等式（必修5）、综合的立体几何（欧几里得方式）与解析的平面-立体几何（费马方式）（必修2）、算法与统计与概率（必修3）。
3.3.1，首先集合与函数方面，高中基本上是承续了小学与初中的一些知识的。在小学教材中，与集合和对应相关的知识点一般会尝试通过直观的例子进行教学（如果能让学生逐渐产生一个东西对应另一个东西，甚至每个东西依次有其对应这样的观念——比如每个自然数都可以通过除以3对应到唯一的一个以3分母的分数【0除以3为0，也可以权且表示为0/3】，那么小学的这类教学大概就有其益处；而就像当年尤其在欧美对布尔巴基式数学教育改革的反思那样，片面强调集合与数学结构一般性，而不考虑直观性与渐进性的话，肯定会影响数学教育的健康性）。函数论上，除了小学教学直观的对应观点外，初中数学一般会提前引入一次函数、二次函数与反比例函数，进而在高中数学中再引入幂函数作为它们的推广，引入其他的一些初等函数如指数函数、对数函数、三角函数等作为补充（笔者读高中的时候，老师虽然不会专门讲反三角函数，但经常会在涉及一些三角函数题目的时候提及到）。
3.3.2，像平面向量这种线性代数方面的内容，虽然在数学史上出现得非常之晚（严格来讲到19世纪才有，基本上与超复数的发现和麦克斯韦式向量分析的提出同时）、但本身并不真的很难，在小学的时间轴问题、植树问题（一个图形上特定点的点数）等问题的介绍中，个人认为都不乏关于向量的观念的尝试铺垫。
至于三角形与三角学，在高中之前，小学时期应该主要还是直观地建立对于三角形的认识（这部分在中国古算的教育系统里，按照《九章算术》的逻辑，一般是属于“方田章”的，而初高中的内容则大多数属于“勾股章”）。
3.3.3，对数列，个人认为，小学所有那些找一连串的数的规律的题目其实都算得上是数列知识的铺垫，不过很显然，在高中数学教学不可能继续讲得那么枝蔓，所以一般会挑选好求的一些类型与例子讲述求通项与求和的方法（像裂项相消法这些）。
而不等式则首先可以看作是小学知识中比较两有理数大小的延伸。（小学一般不会引入有理数概念，因为一般都会在初中教授根式/开方【事实上会涉及作为代数数的无理数，如根号2】与涉及圆的性质的一些计算【涉及像π这样的作为超越数的无理数】，所以在小学范围内数系基本是局限于有理数的、对于没有外部的系统而言，因而不太有必要提前引入有理数概念）不过它明显会变得更代数化，而这种教学的前提是或至少包括初中时期对于整式、分式、根式、单项式、多项式这些知识的铺垫。
像加减乘除的四则运算法则与一元一次方程这样的代数问题，在小学一般,毕竟会讲得很浅，初中引入了整式这些概念后，高中教学中，一方面它们会被作为不等式与数列等代数方面的基础，另一方面它们也毕竟也会成为幂函数、解三角形等各方面的基本的铺垫性知识（对于高中学生而言，在小学打下基础而在初中依次引入的代数思考模式应该是会需要被视为必需学习背景的）。
3.3.4，几何方面，小学会涉及到位置、图形、角度、测量、方向这样一些一般观念的至少直观的引入，也会大概提及一些重要的图形（像矩形、三角形、梯形、平行四边形，在汉代的《九章》教学体系中，这些也会被归入第一章“方田章”内，属于最基础的几何知识）。在教材的大纲中，还可以看到小学会涉及有关图形运动变换的一些直观知识。
而到了高中，经过初一对线、平行与相交、坐标系，初二对三角形、全等三角形与对称，初三对圆、部分初等函数的图像、立体图形的三视图等等这些知识的铺垫，解析的（或代数的）几何讲法（在中国秦汉以来古算的传统下，虽然没有明确引入费马-笛卡尔坐标系，但大多数的勾股题甚至立体几何题【在《九章》系统中属于“商功章”】似乎基本都按照这种讲法进行的，特别像是三国时期刘徽对于棱锥【堑堵所分解成的阳马和鳖臑，及其二者间关系】体积的研究——指刘徽原理）与综合的几何讲法（欧几里得式公理推演，特别是添加辅助线的几何证明）基本便可以正式开展了。
3.3.5，最后，高中必修3（人教版数学）中的算法、统计与概率，在小学内容中也有铺垫，至少在我所查到的教材里，是存在数据收集、复式统计、条形统计、扇形统计（以上就统计而言）、概率引入、可能性的介绍，以及演绎推理与归纳证明等方法介绍这样的一些内容的。
3.4，最后，对于绝大多数高中教学的情况，至少就人教版而言，除以上5本必修外，还会涉及一些必选内容，可大致归纳如下：充要条件、全称量词与存在量词（数理逻辑初步），导数与定积分，复数四则运算与复数的三角表示，二项式定理，圆锥曲线，极坐标系、球坐标系、柱坐标系（后二者用得似乎相对较少）与参数方程，基本计数原理与排列组合。
第一部分作为对数理逻辑的铺垫，显然可以看作是对小学内容中演绎与证明的初步介绍的延伸。
第二部分，也就是简单的微积分内容，小学肯定是不讲的，但在几乎所有涉及可数无穷与不可数无穷的题目与集合与对应观念的直观介绍方面，应该都或多或少地会存在一些对它的铺垫。
第三部分（复数内容）也同上（它毕竟几乎总可以同时表示为平面向量），就像大数学家赫尔曼.外尔所说（指《半个世纪的数学》胡作玄译本开头“如果不去追溯古希腊以来……就不能理解……”一句），数学是积累性很强（可能是最强的）的学科，不管再怎么复杂的数学内容、它的基础之基础终归会在小学数学教学（它模拟着几千年前的人类先民对于数学最开始的探索）中找到其源头。
第四部分，二项式定理，作为对整式、分式、根式知识的总结性定理，它必然也要以一般在小学四年级左右开始引入的一元一次方程与方程及相关概念本身作为其基础。
第五部分圆锥曲线与第六部分“坐标系与参数方程”（有的学校似乎可能不把它列为必讲），可以参考上面的5.1.3.1与5.1.3.4，几种圆锥曲线的引入（除椭圆外）一般至少应该是从初中开始的（作为二次函数图像与反比例函数图像）。
第七部分，即组合学方面的（广义上的）代数学问题，至少在我所查到的小学人教版数学教材中，在六年级下会有对于抽屉原理/鸽笼原理的介绍。
三部分分别记于2021.3.2021.3.2021.3.28等时间，主要内容已首发于同名知乎账号的回答中。
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