莫利定理的两种证明方法
莫利定理（莫雷角三分线定理）：任意三角形角的三等分线靠近夹边的交点构成正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。
证法一
如上图所示，在△ABC中，AF,AE,BF,BD,CD,CE为各角的三等分线，∠BAC=3α，∠ABC=3β，∠BCA=3γ，则α+β+γ=60°。
在△ABF中，由正弦定理，得AF=c sin β/sin(α+β)。
不失一般性，取△ABC外接圆直径为1
由正弦定理，在△ABC中可得c=sin3γ
∴AF=(sin3γ)(sin β)/sin(60°-γ)=[(sin β )(sin γ)(3-4sin²γ)]/[1/2(cos γ -sin γ)]=
2sin β sin γ(cos γ+sin γ)=4sin β sin γ sin(60°+γ)
同理,AE=4sin β sin γ sin(60°+β)
∴AF∶AE=[4sinβsinγsin(60°+γ)]∶[4sinβsinγsin(60°+β)]=sin(60°+γ)∶sin(60°+β)=sin∠AEF∶sin∠AFE
∴∠AEF=60°+γ，∠AFE=60°+β ，同理得，CED=60°+α
∠FED=180°-∠CED-{∠AEF -[180°-(3β+2γ+2α)]}=180°-60°-α-60°-γ+60°-β=60°
∴△DEF为正三角形。
证法二
如上图所示，在△ABC中，AF,AE,BF,BD,CD,CE为各角的三等分线，∠BAC=3α，∠ABC=3β，∠BCA=3γ，则α+β+γ=60°。
∵AE∶AC=sin γ∶sin（α+γ），
AF∶AB=sin β∶sin（α+β） ，
AB∶AC=sin3γ∶sin3β，
∴AE∶AF=[AC sin γ/sin（α+γ）]∶[AB sin β/sin（α+β）]，
而sin3γ∶sin3β=[4sin γ sin(60°+γ)sin(60°-γ) ]∶[4sin β sin(60°+β) sin(60°-β) ]，
sin（α+β）sin(60°-β)=sin（α+γ）sin(60°-γ)，
∴AE∶AF=sin(60°+β)∶sin(60°+γ)，
∴在△AEF中，∠AEF=60°+γ，
同理∠CED=60°+α，
∴∠DEF=60°，
同理∠DFE=60°，
∴△DEF为正三角形。
三角形中位线定理证明方法
三角形中位线定理是三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。
例如证明：已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。求证DE平行于BC且等于BC/2。
过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。
CG∥AD。
∠A=∠ACG。
∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括号）。
△ADE≌△CGE（A.S.A)。
AD=CG(全等三角形对应边相等)。
D为AB中点。
AD=BD。
1BD=CG。
1又BD∥CG。
1BCGD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
1DG∥BC且DG=BC。
1DE=DG/2=BC/2。
1三角形的中位线定理成立。
1逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
1逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线
|莫利定理的两种证明方法
三角形中位线定理证明方法 莫利定理的两种证明方法