高数 多重积分的形象意义|

高数 多重积分的形象意义

一重积分：∫ f(x)dx

∫dx为x的范围，而f(x)是一个随着x改变而改变的数。此两者相乘，即为面积

二重积分：∫dx∫dyf(x,y）

∫dx为x的范围，∫dy为y的范围，相乘即为面积。而f(x,y)是一个随着每一个定义域内(x,y)点改变而改变的数，即每一个xoy平面点对应z的值，即高。三者相乘，即为积分区域的体积。

三重积分：∫dx∫dy∫dzf(x,y,z)

∫dx为x范围，∫dy为y的范围，∫dz为z的范围，相乘即为体积。f(x,y,z) 是一个随着空间内点变化而改变的量。即为每一小体积的密度。质量等于体积和密度相乘。那么三重积分即表示质量。

积分一般情况下具有几何意义以及物理意义。物理意义可以不唯一，可以随着研究因素的不一样其代表的意义也不一样。这两个意义不矛盾，可以同时存在。狭义的理解，几何意义也是物理意义嗯一部分。但对于几何意义只存在于一重和二重积分。

对于第一型曲线积分，

∫Lf(x,y)ds，L例如x+y=1

几何意义，xoy平面上的一条直线具有了z坐标f(x,y)，即有了高。这样积分结果是一个柱面的面积。

物理意义，f(x,y)可以是密度函数即不同的点有不一样的密度，这样积分结果是质量。形象理解为一根铁丝的质量。

对于多重积分，很多不一样的变量进行乘积其实就是一个因素堆积和复杂的过程。它们的意义逐渐从简单形象的几何，上升到物理，逐渐上升一直到无穷无尽，最终成就了世界万事万物的同时运转，我们给它起个名字，叫自然。

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